概率统计中蒙特卡罗方法应用三例- 澳门葡京棋牌官网

2018年4月16日

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概率统计中蒙特卡罗方法应用三例

概率统计是应用性很强的学科,在教学中不仅要重视理论知识的传授,同时应引导学生关注计算问题,熟悉统计软件。为了达到这一目的,利用统计软件完成一些任务,能够激发学生的成就感,进而提高学习兴趣。因此,结合教学内容进行一些概率统计小实验,让学生熟悉统计软件及常用的计算方法,是改进概率统计教学的一个重要部分。
  本文选取在概率统计教学中遇到的三个典型问题,利用蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,借助于R软件,进行详细分析和本文由毕业论文http://www.lw54.com收集整理模拟计算,以期对概率统计的实验教学提供参考。
  蒙特卡罗方法,是一种基于随机数的统计模拟方法。在一些统计问题中,有时很难给出完美的理论结果,这时可以通过随机模拟来给出近似的结果。一般需要根据已知的概率分布构造出相应的模拟样本,用它们的样本频率代替相应的概率作统计分析和推断[1]。随着概率统计学的发展,蒙特卡罗方法已成为普遍应用的方法之一。甚至有时即使得到了问题的精确结果,也需要通过随机模拟来进行验证。

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  R软件是一个有着强大的统计分析及作图功能的软件系统,它在GNU协议(General Public License)下免费发行,由R核心小组成员开发及维护[2]。由于其免费共享且功能强大的特点,R软件已经成为科研工作者最常使用的统计软件之一。
  1 民航送客问题
  例1 一辆民航送客车载有20位乘客从机场开出,沿途有10个车站可以下车。到达一个车站后若无乘客下车就不停车。X表示停车的次数,求EX。(假设每个乘客在各个车站下车是等可能的,且各乘客是否下车相互独立)[3]。
  解:设X■=0,第i个车站无人下车,1,第i个车站有人下车, i=1,2,…,10.则X=X■+X■+…+X■,
  而由分析可知P(X■=0)=0.9■,P(X■=1)=1-0.9■,i=1,2,…,10. 易计算得EX■=1-0.9■,所以EX=EX■+EX■+…+EX■=10×(1-0.9■)=8.784(次)
  分析:此题属于数学期望性质的应用的题目,解法非常巧妙。但是在教学过程中发现,学生们总试图直接求出X的分布,然后计算期望。然而X的分布并不容易得到,因此解题过程进行不下去,使得学生的心里感觉不踏实。而利用蒙特卡罗方法,我们很容易就可以模拟出X的分布,进而得到EX的估计值。 论文网 http://wWw.lW54.coM
  模拟算法步骤:
  (1)从1~10中有放回随机抽取20个数;(20个乘客各自下车的车站数)
  (2)若在20个数中有m(0≤m≤10)个不相同的数,则X=m;(m个车站有人下车)
  (3)将步骤(1)、(2) 重复n=10000次,得到X的10000个值;
  (4)求10000个X值的平均值,即为EX的估计值。
  R软件的模拟程序:
  station=seq(1,10)
  sp=rep(1/10,10)
  n=10000
  x=rep(0,n)
  for ( i in 1:n){
  x_sample=sample(station, 20, replace=TRUE, sp)
  x[i]=sum(station %in% x_sample)
  }
  table(x)/n
  mean(x)
  表1是停车次数X的模拟分布。这里,虽然X还可能取值1,2,3,4,但实际上相应的概率非常小,接近于0,因此没有在表1中显示出来。
  表1 重复n=10000次时停车次数X的模拟分布
  从表2可看出模拟计算结果与理论值很接近,且重复次数n越大与理论值越接近。
  表2 重复n次时EX的模拟结果
  2 估计量的有效性问题
  例2 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,由简单随机样本X■,X■,…,X■给出未知参数λ的无偏估计量[4]。

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